第226回
三角形の重心

中学・高校の数学で平面三角形の重心というものを学びます。

（a） 頂点と対辺の中点を結ぶ線分三本の交点
（a'） 頂点からの距離の二乗の和を最小にする点
（b） 重力の中心
（b'） 三角形内の点からの距離の二乗の積分を最小にする点
（c） 三頂点と結ぶと面積を三等分する点
（d） 頂点から引いた面積を二等分する線分三本の交点

以上のようにたくさんの性質を満たす点ですが、これを球面（または第7回「牽引線の回転面」で述べた、球面と逆に曲がっている曲面）の三角形で考えると別々の点になります。ただし「二乗」を少し変えると（a）と（a'）は同じ点で、（b）と（b'）も同じ点です。
私は最近このようなことを研究しています。重心のような基本的な概念でも、曲面にしたり次元を上げたりすることで未知の問題ががたくさん現れます。